Une identité remarquable
La surface vaut quatre fois celle du grand disque
Pour un même rayon r, le grand disque central a une aire πr². La surface complète de la sphère vaut exactement quatre fois cette aire.
La formule au diamètre est particulièrement compacte : puisque r = d ÷ 2, 4π(d ÷ 2)² se simplifie en πd².
| Rayon connu | S = 4πr² | Surface extérieure complète. |
|---|---|---|
| Diamètre connu | S = πd² | Évite une conversion intermédiaire visible. |
| Surface connue | r = √(S ÷ 4π) | Calcul inverse du rayon. |
| Volume connu | r = ∛(3V ÷ 4π), puis S = 4πr² | Deux étapes liées. |
Procédure
Passer proprement du diamètre à la surface
- Vérifiez si la mesure traverse toute la sphère (diamètre) ou va du centre au bord (rayon).
- Utilisez directement πd² avec le diamètre, ou 4πr² avec le rayon.
- Conservez π pendant le calcul et arrondissez seulement le résultat affiché.
- Exprimez une surface en unités carrées, même si l’objet est en trois dimensions.
Contrôle du moteur : une sphère de rayon 2 doit produire 16π, soit environ 50,265. Voir le test public.
Applications
Tailles de sphères et effet du carré
| Situation | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Rayon 3 cm | 4π × 3² | 36π ≈ 113,097 cm² |
| Diamètre 20 cm | π × 20² | 400π ≈ 1 256,637 cm² |
| Surface 100π m² | √(100π ÷ 4π) | rayon 5 m |
Points de vigilance
Surface, cercle et volume
- πr² calcule un disque, pas la surface d’une sphère : le facteur 4 manque.
- Le volume s’exprime en unités cubiques et utilise 4πr³ ÷ 3 ; il ne doit pas être confondu avec la surface.
- Doubler le rayon multiplie la surface par quatre, pas par deux.
Questions utiles
Questions sur la sphère
En géométrie, la sphère est la surface ; la boule comprend tout le volume intérieur.
Parce que d = 2r : en remplaçant r dans 4πr², les facteurs 4 se simplifient.
Oui, avec r = √(S ÷ 4π).
Une surface est bidimensionnelle, même lorsqu’elle enveloppe un objet en trois dimensions.