Développement du cône
La surface latérale devient un secteur de disque
Lorsque le cône est déplié, sa paroi latérale forme un secteur de disque de rayon g. La longueur de son arc correspond à la circonférence 2πr de la base.
Si le rayon r et la hauteur verticale h sont connus, la coupe axiale forme un triangle rectangle : g = √(r² + h²).
| Surface de base | Sᵦ = πr² | Le disque qui ferme le cône. |
|---|---|---|
| Surface latérale | Sₗ = πrg | La paroi courbe, sans le disque. |
| Surface totale | S = πr(r + g) | Addition de la base et de la paroi. |
| Génératrice | g = √(r² + h²) | Valable pour un cône droit. |
Procédure
Décider si la base doit être incluse
- Déterminez si le problème demande la paroi latérale seule ou toute la surface extérieure.
- Transformez le diamètre en rayon en le divisant par deux.
- Si seule la hauteur est donnée, calculez d’abord la génératrice avec Pythagore.
- Additionnez la base uniquement pour une surface totale fermée.
Contrôle du moteur : pour r = 3 et g = 5, la surface totale doit être 24π, soit environ 75,398. Voir le test public.
Applications
Cône ouvert ou fermé
| Situation | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Cornet sans base : r 3 cm, g 10 cm | π × 3 × 10 | ≈ 94,248 cm² |
| Cône fermé : r 3 cm, g 5 cm | π × 3 × (3 + 5) | ≈ 75,398 cm² |
| r 5 m, h 12 m | g = 13 ; π × 5 × 18 | ≈ 282,743 m² |
Points de vigilance
Rayon, hauteur et génératrice ne sont pas interchangeables
- La hauteur verticale h ne remplace pas la génératrice g dans πrg.
- Un diamètre saisi comme rayon multiplie les surfaces par un facteur important.
- La formule donnée suppose un cône droit ; un cône oblique demande une autre analyse.
Questions utiles
Questions sur le cône
C’est le segment mesuré sur la paroi, du sommet à un point du cercle de base.
Oui pour un solide fermé ; non pour un cornet ou une enveloppe ouverte.
Divisez le diamètre par deux avant d’utiliser les formules.
Dans un cône droit, rayon, hauteur et génératrice forment un triangle rectangle dans une coupe passant par l’axe.